L'insegnamento e la dimostrazione in matematica si avvalgono da sempre di diagrammi e figure. Ragionando sulla figura se ne ricavano alcune proprietà (è un triangolo rettangolo: quindi può venir iscritto in un semicerchio; è un'iperbole: quindi non la si ritroverà mai in questa parte del piano). Le figure possono anche venir costruite in base a vincoli più o meno stretti (traccia una riga, punta il compasso qui, traccia un cerchio, adesso con centro nell'intersezione, traccia un altro cerchio che avrà lo stesso raggio; unisci tutte le intersezioni con la riga, e avrai costruito due triangoli equilateri).
Il magnifico libretto di Albrecht Beutelspacher e Marcus Wagner insegna a costruire figure geometriche e a ragionare su di esse usando non riga e compasso ma altri tipi di vincoli: che cosa possiamo fare piegando e ripiegando un foglio di carta? Prendi un foglio A4; piegalo in un angolo in modo che il lato corto vada ad allinearsi con uno dei lati lunghi; adesso ripiega l'abbondanza, e avrai ottenuto un quadrato. Con pieghe un po' più complicate si possono ottenere triangoli equilateri, pentagoni, stelle; sequenze di lunghezze in sezione aurea, e via dicendo. E se si interpreta "figura" in un senso più ampio, si possono anche ottenere, per quanto la cosa sembri a prima vista assai sorprendente, anche parabole e ellissi (in questo caso ci vogliono molte pieghe, e l'ellisse "appare" in quanto è l'inviluppo di queste pieghe).
Domande filosofiche e matematiche si intrecciano. Come facciamo a essere sicuri del risultato? Molto dipende dalle proprietà della figura che si piega. Se siamo sicuri che il foglio con cui lavoriamo sia un rettangolo, il metodo della piega ci garantisce che costruiremo un quadrato; non usiamo riga e compasso perché alcune delle proprietà che sono garantite da riga e compasso sono garantite qui dalle proprietà del foglio e dal modo in cui pieghiamo. Secondo il filosofo della matematica Marco Panza il ragionamento matematico si configura come un sistema di permessi, di autorizzazioni, che generano le loro proprie regole. Possiamo anche dare altre autorizzazioni: per esempio permettere anche tagli e ricombinazioni e la portabilità di una misura, e questo ci permetterà di costruire altri oggetti (per chi ama le sfide, come tagliare un triangolo equilatero in quattro pezzi dopo averlo piegato due volte in modo da ottenere con i pezzi ricombinati un quadrato?).
Questo modo di concepire la matematica come un fare ci dice qualcosa degli oggetti matematici: la loro complessità va molto al di là della loro definizione («un quadrato è una figura con quattro lati uguali e quattro angoli retti») e rispecchia una delle tante storie possibili della loro costruzione. Apprezzare questa complessità non è soltanto una decorazione filosofica della pratica matematica; insegnarla dovrebbe essere uno dei compiti dell'insegnamento della matematica.
Beutelspacher e Wagner sono responsabili scientifici di istituzioni in prima linea sul fronte dell'educazione matematica. Il Mathematikum di Giessen ha avuto in sette anni un milione di visitatori. Il Dynamikum di Pirmasens 150mila visitatori in un anno dalla fondazione ed è stato scelto come uno dei 365 siti dell'iniziativa «Germania: terra delle idee». Esempi da studiare con attenzione.
Avrei soltanto aggiunto una dozzina di pagine bianche al libro, letto in viaggio, mi sarebbe piaciuto costruire qualche figura sul momento invece che strapazzare le pagine del testo.
A. Beutelspacher, M. Wagner, «Piega e spiega la matematica. Laboratorio di giochi matematici»
Salani, Milano, pagg. 188, euro 13,50.
http://www.mm-gi.de/htdocs/mathematikum/
http://www.dynamikum.de/de/
http://www.land-der-ideen.de/
